9.6.1 Definition. Wir nennen eine Folge (a_n)_n∈ℕ reeller Zahlen bestimmt divergent (oder uneigentlich konvergent) gegen ∞, falls gilt: Zu jeder beliebigen Zahl r ∈ ℝ gibt es einen Index n₀, so dass a_n > r für alle n ≥ n₀. In diesem Fall schreiben wir auch

sowie und nennen ∞ den uneigentlichen Grenzwert oder uneigentlichen Limes der Folge (a_n)_n∈ℕ.

Analog definieren wir bestimmte Divergenz gegen −∞. Dort muss zu jedem r ∈ ℝ ein Index n₀ existieren, so dass a_n < r für alle n ≥ n₀.

9.6.2 Bemerkung. In Worten ist eine Folge (a_n)_n∈ℕ reeller Zahlen bestimmt divergent gegen ∞ (beziehungsweise −∞), wenn sie über alle Schranken wächst (beziehungsweise fällt).

Wir wollen allerdings an dieser Stelle schon klarstellen, dass das Symbol ∞ keine tatsächliche Zahl ist. Wir benutzen es hier nur, um das Divergenzverhalten von Folgen auf kurze und übersichtliche Weise beschreiben zu können. Gleiches gilt für −∞. Wir werden in Bemerkung 9.6.8 noch näher darauf eingehen.

9.6.3 Beispiel.

1.

Die Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n = n konvergiert uneigentlich gegen ∞. Um dies zu beweisen, sei eine Schranke r ∈ ℝ beliebig vorgegeben. Ist r < 1, so ist jedes Glied der Folge(a_n) größer als r. Ist r ≥ 1, so setzen wir n₀ := ⌈r+1⌉. Das heißt, n₀ ist die Zahl die entsteht, wenn man r + 1 zur nächstgrößeren ganzen Zahl aufrundet. Dann ist a_n = n ≥ n₀ ≥ r+1 > r für alle n ≥ n₀.

2.

Die alternierende Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n = (−1)ⁿ ist zwar divergent, aber nicht bestimmt divergent. Allgemein ist keine alternierende Folge bestimmt divergent, denn jedes zweite Folgenglied ist positiv, alle anderen negativ. Insbesondere sind nicht fast alle Folgenglieder > 0, aber auch nicht fast alle < 0. Also kann die Folge weder bestimmt gegen ∞, noch bestimmt gegen −∞ divergieren.

3.

Arithmetische Folgen sind entweder konstant oder bestimmt divergent. Genauer gesagt, sei (a_n)_n∈ℕ eine arithmetische Folge mit Differenz d. Dann gelten:

• Ist d > 0, so konvergiert (a_n) uneigentlich gegen ∞.
• Ist d = 0, so ist (a_n) konstant.
• Ist d < 0, so konvergiert (a_n) uneigentlich gegen −∞.

Das liegt daran, dass (a_n) für d≠0 unbeschränkt und monoton ist. Die Unbeschränktheit sorgt für Divergenz, die Monotonie führt dazu, dass diese Divergenz in eine bestimmte Richtung verläuft. Dadurch ist die Folge (a_n) bestimmt divergent.

4.

Es sei (a_n)_n∈ℕ eine geometrische Folge mit Anfangsglied a > 0 und Quotient q. Dann gelten:

• Ist q > 1, so ist (a_n) bestimmt divergent mit uneigentlichem Grenzwert ∞.
• Ist −1 ≤ q ≤ 1, so ist (a_n) konvergent.
• Ist q < −1, so ist (a_n) zwar divergent, aber nicht bestimmt divergent.

Die bestimmte Divergenz für q > 1 kann man wieder mittels Unbeschränktheit und Monotonie erklären. Für −1 ≤ q ≤ 1 ist die Folge (a_n) konstant oder eine Nullfolge. Für q < −1 ist sie zwar unbeschränkt (und demnach divergent), aber alternierend (und demnach nicht bestimmt divergent).