10.2.1 Definition. Es sei f : D → ℝ eine Funktion und a ∈ ℝ eine reelle Zahl, die man als Grenzwert einer Folge (x_n) ⊆ D darstellen kann. Dann schreiben wir

falls für jede Folge (x_n) ⊆ D die gegen a konvergiert, die Folge (f(x_n)) der Funktionswerte gegen c konvergiert. In diesem Fall nennen wir lim_x→af(x) den Grenzwert von f für x gegen a.

10.2.2 Bemerkung. Wir wollen die etwas umständlich anmutende Definition 10.2.1 näher erläutern. Es geht darum, das Verhalten der Funktionswerte f(x) zu beschreiben, wenn wir mit x immer näher an ein a heranrücken. Dieses Heranrücken wird durch konvergente Folgen mathematisch exakt beschrieben. Da die Folgenglieder als Argument für die Funktion f zulässig sein müssen, lassen wir nur Folgen zu, deren Glieder im Definitionsbereich D von f liegen.

Zudem wollen wir nicht, dass der Grenzwert einer Funktion davon abhängt, wie sich das x dem a nähert. Um dies sicherzustellen, müssen wir verlangen, dass für jede Folge (x_n) ⊆ D die gegen a konvergiert, die Folge (f(x_n)) der Funktionswerte gegen einen festen Wert c konvergiert. In Worten: Egal wie wir uns dem a nähern, die Funktionswerte streben immer gegen ein und dieselbe Zahl c.

Des Weiteren haben wir nicht verlangt, dass der Grenzwert a in D liegt, obwohl wir verlangt haben, dass die Glieder der Folgen (x_n) alle in D liegen. Das ermöglicht es uns, das Verhalten von Funktionen in der Nähe von Definitionslücken zu untersuchen. Denn aus (x_n) ⊆ D folgt nicht zwingend, dass auch der Grenzwert limx_n = a in D liegt. Beispielsweise sind alle Glieder der harmonischen Folge _n∈ℕ größer als 0 und kleiner/gleich 1, sodass _n∈ℕ ⊆ (0,1]. Dahingegen liegt der Grenzwert der Folge (nämlich 0) nicht im Intervall (0,1].

10.2.3 Satz (Grenzwertsätze für Funktionen). Es seien f : D → ℝ und g : D → ℝ Funktionen und λ ∈ ℝ eine reelle Zahl. Des Weiteren sei a ∈ ℝ eine Zahl, die man als Grenzwert einer Folge (x_n) ⊆ D darstellen kann. Existieren die Grenzwerte von f und g für x gegen a, so existieren auch die Grenzwerte von f +g, f −g, f ⋅g und λ ⋅f für x gegen a und es gilt:

Es sei D^′ := {x ∈ D∣g(x)≠0} die Menge aller Stellen, an denen g nicht 0 ist. Ist a als Grenzwert einer Folge (x_n) ⊆ D^′ darstellbar und gilt lim_x→ag(x)≠0, so existiert auch der Grenzwert von für x → a und es gilt:

10.2.4 Bemerkung. Mit Hilfe des Grenzwertbegriffs für Funktionen, können wir die Definition der Stetigkeit umformulieren. Eine Funktion f : D → ℝ ist genau dann stetig an der Stelle a ∈ D, wenn der Grenzwert von f für x → a existiert und Folgendes gilt: