6.2.1 Definition. Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form

wobei a,b,c ∈ ℝ reelle Zahlen sind und a≠0 ist.

6.2.2 Bemerkung. Es sei

eine quadratische Gleichung. Da a≠0 ist, können wir beide Seiten der Gleichung durch a dividieren. Wir erhalten dadurch und damit eine Gleichung der Form wobei p,q ∈ ℝ reelle Zahlen sind.

6.2.3 Definition. Wir sagen, dass eine quadratische Gleichung Normalform hat, wenn sie von der Form

ist.

6.2.4 Aufgabe. Bringe die folgenden quadratischen Gleichungen in Normalform

1.

3x² +6x−12 = 0

2.

2x² −5x+3 = 0

3.

⋅x² − ⋅x+ = 0

4.

−0,2⋅x² −1,4⋅x+ = 0

6.2.5 Bemerkung. Wir werden uns in diesem Abschnitt damit beschäftigen, wie man quadratische Gleichungen löst. Da wir in Bemerkung 6.2.2 gesehen haben, dass sich eine quadratische Gleichung durch einfaches Dividieren in Normalform bringen lässt, beschränken wir unsere Betrachtungen auf Gleichungen eben dieser Form.

6.2.6 Beispiel. Es seien p,q∈ ℝ reelle Zahlen. Wir wollen sehen, dass sich die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung

in gewissen Spezialfällen ohne große Mühe ermitteln lässt.

Fall 1: p = 0. In diesem Fall müssen wir die Gleichung x²+q = 0 lösen. Dazu subtrahieren wir zunächst auf beiden Seiten q und erhalten

Da das Quadrat einer Zahl immer ≥ 0 ist, hat diese Gleichung keine reelle Lösung, wenn −q < 0 ist, das heißt wenn q > 0. Ansonsten können wir die Lösungen der Gleichung durch Wurzelziehen bestimmen. Ist q = 0 so ist x = = 0 die einzige Lösung. Ist q < 0, so haben wir zwei Lösungen, nämlich und −.

Fall 2: q = 0, p≠0. Hier müssen wir die Gleichung x² +px = 0 lösen. Dazu können wir x ausklammern und erhalten

Wir wissen, dass ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist. In diesem Fall bedeutet das, dass gelten muss. Die Gleichung hat also die beiden Lösungen x = 0 und x = −p.

6.2.7 Aufgabe. Bestimme alle reellen Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen:

1.

x² −1 = 0

2.

x² +1 = 0

3.

x² −5 = 0

4.

x² +x = 0

5.

x² −2x = 0

6.

x² −7x = 0

6.2.8 Beispiel. Sind wir in keinem der Spezialfälle aus Beispiel 6.2.6 so nehmen wir die Methode der quadratischen Ergänzung zur Hilfe. Wir zeigen dies zunächst an einem Beispiel.

Das heißt, die Gleichung hat die beiden Lösungen

und Zur Probe setzen wir diese beiden Werte in die linke Seite der Gleichung x² −3x+2 = 0 ein und überprüfen, ob tatsächlich 0 herauskommt. Zuerst setzen wir x = 2 ein und dann x = 1.

6.2.9 Rezept. Wir formulieren die obige Vorgehensweise nun allgemein. Zum Lösen einer quadratischen Gleichung

in Normalform arbeiten wir die folgenden Schritte ab:

1.

quadratische Ergänzung durchführen,

2.

binomische Formel anwenden,

3.

alles außer dem quadrierten Binom auf die rechte Seite bringen,

4.

Wurzel ziehen und schließlich

5.

nach x auflösen.

Falls nach Schritt 3 die rechte Seite negativ ist, können die restlichen Schritte übersprungen werden. Die Gleichung hat dann keine Lösung, da es keine reelle Wurzel von negativen Zahlen gibt.

Wenn ihr mit Schritt 5 fertig seid, könnt ihr die berechnete Lösung (beziehungsweise die berechneten Lösungen) zur Probe noch in die Gleichung einsetzen, um zu überprüfen, ob euer Ergebnis stimmen kann.

6.2.10 Bemerkung. Die quadratische Ergänzung ist dazu da, eine quadratische Gleichung so umzuformen, dass man eine der ersten beiden binomischen Formeln anwenden kann. Das bedeutet, dass ihr natürlich keine quadratische Ergänzung durchzuführen braucht, wenn ihr direkt seht, wie ihr eine der binomischen Formeln anwenden könnt. Beispielsweise könntet ihr die Gleichung

mit Hilfe der ersten binomischen Formel direkt in umformen.

6.2.11 Aufgabe. Bestimme mit Hilfe der quadratischen Ergänzung alle reellen Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen:

1.

x² +4x+4 = 0

2.

x² −2x+1 = 0

3.

x² +4x+3 = 0

4.

x² −2x+2 = 0

5.

x² +5x−1 = 0

6.

x² +3x+ = 0

7.

x² −x+ = 0

8.

x² +0,2x−0,24 = 0

Mache, wenn sinnvoll, die Probe, ob dein Ergebnis stimmen kann.

6.2.12 Bemerkung. Wir wollen hier noch eine allgemeinere Situation schildern, in der ihr euch eine quadratische Ergänzung durchaus sparen könnt. Betrachten wir zwei reelle Zahlen a und b, so gilt:

Wenn ihr also eine quadratische Gleichung der Form

gegeben habt und reelle Zahlen a und b findet, für die p = a+b und q = a⋅b gilt, so könnt ihr die Gleichung umformen in In Worten: Wenn bei einer quadratischen Gleichung in Normalform der Vorfaktor von x die Summe zweier Zahlen a und b ist und der konstante Term dem Produkt dieser Zahlen entspricht, dann könnt ihr die Gleichung direkt umformen.

Beispielsweise könnt ihr bei der Gleichung

vielleicht sehen, dass 5 = 2+3 und 6 = 2⋅3 gilt, sodass ihr die Gleichung direkt in umformen könnt. Da das Produkt zweier reeller Zahlen genau dann gleich 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist, lassen sich die Lösungen einfach ablesen: x = −2 und x = −3 sind die Lösungen der Gleichung.

Tipp: das Vorzeichen von q gibt euch einen Hinweis auf die Vorzeichen von a und b.

• Ist q positiv, so haben a und b dasselbe Vorzeichen. Genauer gesagt haben a und b in diesem Fall dasselbe Vorzeichen wie p.
• Ist q negativ, so haben a und b verschiedene Vorzeichen.

Beispielsweise müssen wir bei der Gleichung

nach zwei negativen Zahlen suchen. In der Tat gilt −5 = (−2)+(−3) und 6 = (−2)⋅(−3). Wir können also in umformen.

Bei der Gleichung

hingegen, suchen wir eine positive und eine negative Zahl. Hier gilt 1 = (−2)+3 und −6 = (−2)⋅3. Also lässt sich die Gleichung umformen in

Zum Schluss noch ein Hinweis, wie ihr mit diesem Verfahren umgehen solltet. Zunächst gilt, dass es genau dann zwei Zahlen a und b mit den geforderten Eigenschaften gibt, wenn die gegebene Gleichung mindestens eine reelle Lösung hat. Es kann also durchaus sein, dass es überhaupt nicht möglich ist, solche a und b zu finden.

Aus diesem Grund und weil es mitunter recht schwer ist, geeignete a und b zu finden (falls sie denn existieren), ist es ratsam, gerade in einer Prüfungssituation nicht zu viel Zeit mit diesem Lösungsweg zu verbringen. Schaut euch einfach die Gleichung an und denkt kurz darüber nach wie a und b aussehen könnten. Wenn euch die Lösung nicht innerhalb kurzer Zeit klar wird, geht zu einem Lösungsverfahren über, das garantiert zum Ziel führt.

6.2.13 Aufgabe. Um die in Bemerkung 6.2.12 beschriebene Situation zuverlässig und schnell zu erkennen, bedarf es einiger Übung. Diese Aufgabe beinhaltet daher mehr Einzelaufgaben als die anderen Aufgaben in diesem Kapitel.

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit Hilfe des Tricks aus Bemerkung 6.2.12:

1.

x² +2x+1 = 0

2.

x² +3x+2 = 0

3.

x² −4x+3 = 0

4.

x² +2x−8 = 0

5.

x² −4x+4 = 0

6.

x² −4 = 0

7.

x² +7x+12 = 0

8.

x² +7x+10 = 0

9.

x² +7x+6 = 0

10.

x² −8x+15 = 0

11.

x² −2x−15 = 0

12.

x² +3x−28 = 0

13.

x² +x−30 = 0

14.

x² −10x+21 = 0

15.

x² +15x+56 = 0

Solltet ihr mit dieser Aufgabe Schwierigkeiten haben, ist das kein Problem. Macht dann erst einmal mit anderem Lernstoff weiter und kommt später zu der Aufgabe zurück. Wenn es gar nicht klappt, ist das auch nicht schlimm, da ihr zum Lösen quadratischer Gleichungen immer die quadratische Ergänzung und die im Folgenden noch behandelten Methoden benutzen könnt. Der Trick aus Bemerkung 6.2.12 stellt lediglich eine Abkürzung in der dort beschriebenen Situation dar.

6.2.14 Bemerkung. Führen wir die Schritte in Rezept 6.2.9 an einer allgemeinen quadratischen Gleichung

in Normalform aus, so erhalten wir:

Dabei setzen wir voraus, dass

ist, sodass die Wurzel in den reellen Zahlen existiert. Aus diesen Berechnungen lässt sich eine weitere Formel extrahieren.

6.2.15 Formel (p-q-Formel). Gegeben sei eine quadratische Gleichung

in Normalform. Dann gilt:

• Falls ² −q < 0, so hat die Gleichung keine Lösung.
• Falls ² −q = 0, so hat die Gleichung genau eine Lösung, nämlich x = −.
• Falls ² − q > 0, so hat die Gleichung genau zwei Lösungen, nämlich − + und − −.

6.2.16 Tipps. Die in den Tipps 6.6.17 behandelten Vor- und Nachteile gelten generell für alle Formel-Methoden. Dementsprechend auch hier wieder der Rat: Du solltest versuchen die in Rezept 6.2.9 behandelte Methode zum Lösen von quadratischen Gleichungen zu verstehen, bevor du die Formel benutzt.

Es ist generell eine gute Idee, am Ende der Bearbeitung einer Aufgabe eine Probe zu machen, ob das berechnete Ergebnis stimmen kann. Beim Lösen via Formeln gilt dies besonders. Wenn ihr einfach nur ein paar Werte in eine Formel einsetzt und dann herumrechnet, schleichen sich leicht einige Flüchtigkeitsfehler ein. Wenn ihr nun während einer Arbeit eine Aufgabe mit einer Formel löst und dabei Fehler macht, ist es durchaus möglich, dass ihr weniger Punkte erhaltet als für einen ausführlichen Lösungsweg, der ebenso viele Rechenfehler enthält. Daher ist es hier ausdrücklich anzuraten, am Ende der Aufgabe die Probe durchzuführen.

6.2.17 Aufgabe. Bearbeite Aufgabe 6.2.11 erneut. Benutze dieses Mal die p-q-Formel um die Lösungen zu finden.