6.3.1 Definition. Eine quadratische Funktion ist eine Abbildung der Form

wobei a,b,c ∈ ℝ reelle Zahlen sind und a≠0 ist.

6.3.2 Beispiel. Die folgenden Abbildungen sind quadratische Funktionen.

1.

ℝ → ℝ, x↦x²

2.

ℝ → ℝ, x↦3x² +x−1

3.

ℝ → ℝ, x↦(x−1)⋅(x+1)

4.

ℝ → ℝ, x↦−x²

5.

ℝ → ℝ, x↦5⋅(2x+x²)−3

6.3.3 Aufgabe. Ihr werdet gemerkt haben, dass in Beispiel 6.3.2 nicht unbedingt direkt ersichtlich ist, dass alle angegebenen Abbildungen quadratische Funktionen im Sinne von Definition 6.3.1 sind. Schreibt die Funktionen aus Beispiel 6.3.2 um, sodass sie in der Form

erscheinen. Gebt jeweils explizit a, b und c an.

6.3.4 Beispiel und Definition. Wir betrachten nun die Graphen einiger quadratischer Funktionen für die b = 0 und c = 0 ist. Dabei wählen wir verschiedene Werte für den Parameter a, um zu erkennen welchen Einfluss er auf den Verlauf des Funktionsgraphen hat.

Zunächst sehen wir uns an, was eine Erhöhung von a bewirkt. Dazu zeichnen wir die Graphen dreier Funktionen in je ein eigenes Koordinatensystem. Damit wir die Graphen auch vergleichen können, haben die drei Koordinatensysteme alle dieselbe Skalierung.

Erst einmal fällt auf, dass sich die drei Graphen recht ähnlich sehen. In der Tat hat der Graph jeder beliebigen quadratischen Funktion eine solche Form. Sprachlich tragen wir dieser Tatsache Rechnung, indem wir die Funktionsgraphen quadratischer Funktionen als Parabeln bezeichnen. Da die Funktionsvorschrift x↦x² die simpelste quadratische Funktion definiert, geben wir ihrem Funktionsgraphen einen besonderen Namen. Wir bezeichnen ihn als die Normalparabel.

Der Graph der Funktion f₁ ist also eine Normalparabel. Die Graphen von f₂ und f₃ sind, im Vergleich zur Normalparabel, in y-Richtung gestreckt (das heißt in die Länge gezogen) und erscheinen dadurch schmaler und steiler.

Wir zeichnen nun die Graphen von zwei quadratischen Funktionen bei denen 0 < a < 1 ist. Zum Vergleich zeichnen wir links auch wieder die Normalparabel.

Wir sehen, dass die Graphen der Funktionen f₄ und f₅ in y-Richtung gestaucht (das heißt in der Länge zusammengedrückt) sind und erscheinen dadurch breiter und weniger steil.

Nun schauen wir uns noch an, was passiert, wenn wir a < 0 wählen. Dazu betrachten wir wieder drei Graphen.

Diese Graphen sehen aus wie die Graphen der Funktionen f₃(x) = 5x², f₁(x) = x² und f₅(x) = x², abgesehen davon dass man sie nach unten geklappt hat. Genau das ist auch der Fall: Bei Funktionen der Form x↦ax² bewirkt ein Vorzeichenwechsel in a nämlich eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse.

Um die genannten Effekte einer Veränderung des Parameters a nochmals zu verdeutlichen, zeichnen wir nun noch einige Parabeln in ein gemeinsames Koordinatensystem.

Wir wollen diese Auswirkungen hier noch zusammenfassen und erklären danach, wie sie zu Stande kommen. Dabei betrachten wir wieder nur Funktionen der Form x↦ax².

Für die Erklärung betrachten wir die Funktionen f :  ℝ → ℝ, x↦x² und f_a :  ℝ → ℝ, x↦ax². Der Funktionswert von f_a an der Stelle x ist also immer das a-Fache des Funktionswertes von f an der Stelle x. Ist a > 1, so ziehen wird die Normalparabel in die Länge (in y-Richtung). Ist 0 < a < 1, so wird die Normalparabel zusammengedrückt (in y-Richtung). Ein negatives a bewirkt, dass auch der Funktionswert negativ ist. Das bedeutet, dass der Graph nun nach unten statt nach oben zeigt, seine eigentliche Form aber beibehält. Er wird also an der x-Achse gespiegelt.

6.3.5 Beispiel. In Beispiel und Definition 6.3.4 haben wir die Bedeutung des Parameters a auf den Verlauf der Funktionsgraphen von quadratischen Funktionen der Form x↦ax² untersucht. Das heißt, wir haben verlangt, dass b und c gleich 0 sind.

Wir wollen nun den Einfluss des Parameters c untersuchen und verlangen dazu nur noch, dass b = 0 ist. Das heißt, wir betrachten quadratische Funktionen der Form x↦ax² + c. Dabei variieren wir nicht nur den Wert von c, sondern auch den von a, um eventuell bestehende Abhängigkeiten zu entdecken.

Schauen wir uns zunächst einmal anhand einiger Beispielgraphen an, welchen Einfluss eine Erhöhung von c hat.

Eine Erhöhung von c bewirkt also eine Verschiebung des Graphen nach oben. Genauer gesagt, bewirkt die Erhöhung von c um einen Wert d die Verschiebung um gerade diesen Wert d. In der Tat sehen wir in unserer Zeichnung, dass der Graph von f₂ der um nach oben verschobene Graph von f₁ ist. Der Graph von f₃, wiederum, ist der um nach oben verschobene Graph von f₂.

Eine Verringerung von c hat genau den gegenteiligen Effekt, nämlich eine Verschiebung nach unten.

Genauer gesagt, bewirkt die Verringerung von c um einen Wert d die Verschiebung nach unten um gerade diesen Wert. Wir können dies wieder in unserer Zeichnung verifizieren. So ist der Graph von f₄ nichts Anderes als der um 1 nach unten verschobene Graph von f₁.

Betrachten wir nun noch beispielhaft die folgenden drei Graphen, bei denen wir ein von 1 verschiedenes a gewählt haben.

Dies lässt vermuten, dass die Effekte der Veränderung von a und die Effekte der Veränderung von c unabhängig voneinander sind. In der Tat ist dies auch der Fall.

Die Beobachtungen lassen sich wie folgt erklären. Wir betrachten eine beliebige quadratische Funktion der Form f :  ℝ → ℝ, x↦ax² +c. Wenn wir c nun verändern, indem wir ein d ∈ ℝ hinzuaddieren, so erhalten wir die quadratische Funktion g :  ℝ → ℝ, x↦ax² +(c+d). Nun gilt aber

das heißt, der Funktionswert von g an einer beliebigen Stelle x entsteht aus dem Funktionswert von f an der Stelle x, indem wir zu f(x) den konstanten Wert d addieren. Für den Graphen bedeutet das eine Verschiebung um d in y-Richtung.