9.2.3 Definition. Man sagt, dass eine Folge alterniert, wenn je zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder verschiedene Vorzeichen haben. Man bezeichnet die Folge dann auch als alternierende Folge.

9.2.4 Bemerkung. Wir wollen auch ein rechnerisches Kriterium für Definition 9.2.3 zur Verfügung stellen. Eine Folge (a_n)_n∈ℕ ist genau dann alternierend, wenn

für alle n ∈ ℕ.

9.2.5 Beispiel.

1.

Die Glieder der Folge (c_n)_n∈ℕ mit c_n = (−1)ⁿ aus Bemerkung 9.1.5 springen immer zwischen den Werten 1 und −1 hin und her. Insbesondere haben je zwei aufeinanderfolgende Glieder unterschiedliche Vorzeichen. Das heißt, (c_n)_n∈ℕ ist eine alternierende Folge.

2.

Die Glieder der Folge (b_n)_n∈ℕ mit b_n = 2+(−1)ⁿ⁺¹ aus Aufgabe 9.1.6 springen zwischen den Werten 1 und 3 hin und her. Die Vorzeichen sind also immer gleich, sodass (b_n)_n∈ℕ keine alternierende Folge ist.

3.

Die Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n = (−1)ⁿ⁺¹ ⋅  ist alternierend. Man nennt sie alternierende harmonische Folge.

9.2.6 Aufgabe.

1.

Betrachte die Folge (a_n)_n≥−3 mit der Berechnungsvorschrift für alle n ≥−3.

(a)

Berechne die ersten sieben Folgenglieder.

(b)

Ist die Folge alternierend? Begründe deine Antwort.

2.

Betrachte die Folge (b_n)_n∈ℕ mit der Berechnungsvorschrift für alle n ∈ ℕ.

(a)

Zeige, dass für die Folgenglieder b_n Folgendes gilt:

(b)

Ist die Folge alternierend? Begründe deine Antwort.

(c)

Skizziere den Graphen der Folge.