6 Lösung (zu Aufgabe 5.5.4). In dieser Aufgabe geht es darum zu sehen, dass man innerhalb des Lösungsverfahrens 5.5.1 “Auflösen und Einsetzen” gewisse Entscheidungen treffen kann, die einem die Arbeit erleichtern oder erschweren können. Dazu haben wir das lineare Gleichungssystem

gegeben und sollen verschiedene Lösungswege durchspielen.

1.

Die erste Gleichung nach x auflösen und dann x in der zweiten Gleichung ersetzen.

Damit haben wir die erste Gleichung nach x aufgelöst. Nun ersetzen wir x in der zweiten Gleichung durch −:

Als letzten Schritt setzen wir y = −1 nun in der umgeformten ersten Gleichung ein, also in x = −.

Damit haben wir die einzige Lösung des Gleichungssystems bestimmt:.

2.

Die erste Gleichung nach 5x auflösen und dann 5x in der zweiten Gleichung ersetzen.

Damit haben wir die erste Gleichung nach 5x aufgelöst. Nun ersetzen wir 5x in der zweiten Gleichung durch −3−y:

Nun setzen wir y = −1 in der umgeformten ersten Gleichung ein:

Auch auf diesem Wege erhalten wir also, dass die einzige Lösung des Gleichungssystems ist. Wenn wir diesen Lösungsweg aber mit dem der 1. Teilaufgabe vergleichen, so stellen wir fest, dass wir in der 1. Teilaufgabe wesentlich früher mit Brüchen rechnen müssen, was die Rechnungen komplizierter werden lässt und in der Regel auch mehr Rechenaufwand bedeutet.

3.

Die erste Gleichung nach y auflösen und dann y in der zweiten Gleichung ersetzen.

Nun setzen wir y = −3−5x in der zweiten Gleichung ein:

Wir wissen nun also, dass nur Punkte der Form Lösungen des Gleichungssystems sein können. Setzen wir nun x = in der umgeformten ersten Gleichung ein, so erhalten wir den y-Wert der Lösung:

Also ist die Lösung des Gleichungssystems.

4.

Die zweite Gleichung nach y auflösen und dann y in der ersten Gleichung ersetzen.

Wir können dies nun in der ersten Gleichung einsetzen um den x-Wert zu ermitteln:

Zuletzt setzen wir diesen Wert noch in die zweite Gleichung des Systems ein:

Nun setzen wir die Beiden Werte wieder zu einer Lösung zusammen: .

Bei diesem Lösungsweg sind die Rechnungen wohl allgemein etwas komplizierter als die in den ersten drei Lösungswegen.

5.

Die zweite Gleichung nach 4y auflösen und dann 4y in der ersten Gleichung ersetzen (nachdem wir diese passend umgeformt haben).

Um 4y in der ersten Gleichung ersetzen zu können, ist es am einfachsten beide Seiten mit 4 zu multiplizieren:

Diesen Wert setzen wir in der umgeformten zweiten Gleichung ein:

Und so haben wir zum fünften Mal die Lösung des Gleichungssystems berechnet.
Im Prinzip haben wir hier den gleichen Trick verwendet wie schon im 2. Lösungsweg: wir haben einen Divisionsschritt umgangen um die darauffolgenden Rechenschritte etwas einfacher zu machen. Beim 2. Lösungsweg hatten wir dabei schon passende Vorfaktoren (in beiden Gleichungen des Systems kommen 5x vor). Diesmal mussten wir uns die Vorfaktoren passend machen, indem wir die erste Gleichung mit einer geeigneten Zahl (genauer gesagt mit 4) multipliziert haben.

7 Lösung (zu Aufgabe 5.5.5). Wie Aufgabe 5.5.4 (beziehungsweise deren Lösung) gezeigt hat, gibt es viele verschiedene Lösungswege beim Verwenden der Methode “Auflösen und Einsetzen”. Wir geben in dieser Aufgabe jeweils nur einen an. Dabei werden wir zwar versuchen einen möglichst einfachen zu wählen, es kann aber durchaus sein, dass ihr selbst Lösungswege findet, die euch einfacher fallen als die hier dargestellten.

1.

Wir sollen folgendes Gleichungssystem lösen: x+3y = 0 ∧ x−y = 0. Dazu formen wir zunächst die zweite Gleichung um:

Wir wissen also, dass x- und y-Wert einer Lösung des Gleichungssystems übereinstimmen müssen. Nun können wir in der ersten Gleichung wahlweise x durch y ersetzen oder y durch x. Wir ersetzen y durch x und lösen dann nach x auf:

Also muss x = 0 sein. Da aber auch x = y gelten muss, ist (0,0) die einzige Lösung des Gleichungssystems.

Zur Probe setzen wir diesen Punkt in die beiden Gleichungen ein. Sowohl bei der ersten Gleichung

als auch bei der zweiten

erhalten wir dadurch eine wahre Aussage. Wir haben also erfolgreich überprüft, dass (0,0) tatsächlich eine Lösung des Gleichungssystem ist.

2.

Wir sollen folgendes Gleichungssystem lösen: 2x+y = 1 ∧ x+2y = −1. Wir lösen dazu zuerst die erste Gleichung nach y auf:

Nun ersetzen wir y in der zweiten Gleichung und lösen dann nach x auf:

Wir haben damit den x-Wert bestimmt der notwendig ist, um das Gleichungssytem zu lösen. Setzen wir diesen Wert nun in die umgeformte erste Gleichung ein, so erhalten wir den y-Wert:

Die einzig mögliche Lösung des Gleichungssystems ist daher (1,−1).

Wir machen wieder eine Probe indem wir den Punkt in beide Gleichungen des Systems einsetzen: sowohl bei der ersten Gleichung

als auch bei der zweiten

erhalten wir dadurch eine wahre Aussage. Also erfüllt (1,−1) die beiden Gleichungen und ist daher eine Lösung des Gleichungssystems.

3.

Wir sollen folgendes Gleichungssystem lösen: 3x+4y = 10 ∧ 3x−2y = 4. Dazu lösen wir die zweite Gleichung nach 3x auf:

Dann ersetzen wir 3x in der ersten Gleichung und lösen dann nach y auf:

Nun kennen wir den y-Wert den alle Lösungen des Gleichungssystems haben müssen. Also setzen wir diesen in die umgeformte zweite Gleichung ein:

Demnach ist (2,1) die einzig mögliche Lösung.

Zuletzt machen wir wieder eine Probe: wir setzen den Punkt (2,1) zuerst in die erste Gleichung ein

und dann in die zweite

In beiden Fällen erhalten wir eine wahre Aussage. Also ist (2,1) in der Tat eine Lösung des Gleichungssystems.

4.

Wir sollen folgendes Gleichungssystem lösen: x+y = 2 ∧ 3x+5y = 1. Um dies zu bewerkstelligen lösen wir zunächst die erste Gleichung nach x auf:

Jetzt ersetzen wir x in der zweiten Gleichung und lösen dann nach y auf:

Das heißt, dass eine Lösung des Gleichungssystems den y-Wert haben muss. Setzen wir diesen also in der umgeformten ersten Gleichung ein:

Damit haben wir gezeigt, dass die einzig mögliche Lösung des Gleichungssystems ist.

Wir prüfen nun noch mit einer Probe nach, ob der Punkt tatsächlich die Lösung des Systems ist: wir setzen ihn zunächst in die erste Gleichung ein

und dann in die zweite

Beide Male erhalten wir eine wahre Aussage. Also ist die Lösung des Gleichungssystems.

5.

Wir sollen folgendes Gleichungssystem lösen: −x+y = 2 ∧ x−y = . Dazu machen wir zunächst die Vorfaktoren ganzzahlig, indem wir beide Gleichungen mit 2 multiplizieren: erst die erste Gleichung

und dann die zweite

Das Gleichungssystem

hat dieselben Lösungen wie das eigentlich zu lösende System ist aber einfach zu handhaben, da es keine Brüche enthält. Wir benutzen daher zum finden der Lösung das umgeformte Gleichungssystem.

Um das Gleichungssystem zu lösen, lösen wir die erste Gleichung nach y auf:

Jetzt ersetzen wir y in der zweiten Gleichung und lösen dann nach x auf

Den berechneten x-Wert setzen wir in die umgeformte erste Gleichung ein um den y-Wert zu erhalten:

Demnach ist (−5,−11) die einzig mögliche Lösung.

Zur Probe setzen wir diesen Punkt noch in die beiden Gleichungen des ursprünglich gegebenen Gleichungssystems ein: sowohl bei der ersten

als auch bei der zweiten Gleichung

erhalten wir eine wahre Aussage. Damit haben wir bestätigt, dass (−5,−11) die Lösung des Gleichungssystems ist.

6.

Wir sollen folgendes Gleichungssystem lösen: 0,12x+0,04y = 1 ∧ 0,9x+0,01y = 1,12. Auch hier machen wir dazu zunächst die Vorfaktoren ganzzahlig. Dazu können wir bei solchen Dezimalzahlen sozusagen das Komma verschieben, indem wir mit einer geeigneten Potenz von 10 multiplizieren. In diesem Fall multiplizieren wir beide Gleichungen mit 100: erst die erste Gleichung

und dann die zweite

Wieder hat das resultierende Gleichungssystem

exakt die gleichen Lösungen wie das eigentlich gegebene System ist aber leichter zu handhaben, weil wir nicht mit Nachkommastellen hantieren müssen. Wir benutzen daher zum finden der Lösung das umgeformte Gleichungssystem.

Um das Gleichungssystem zu lösen, lösen wir die zweite Gleichung nach y auf:

Jetzt ersetzen wir y in der ersten Gleichung und lösen dann nach x auf

Den so berechneten x-Wert setzen wir in der umgeformten zweiten Gleichung ein um den y-Wert zu ermitteln:

Demnach ist (1,22) die einzig mögliche Lösung des Gleichungssystems.

Um dies zu überprüfen, machen wir noch eine Probe: wir setzen (1,22) in das ursprünglich gegebene Gleichungssystem ein: zunächst in die erste Gleichung

und dann in die zweite

Bei beiden erhalten wir eine wahre Aussage. Damit haben wir bestätigt, dass (1,22) die Lösung des Gleichungssystems ist.