5.4 Lineare Gleichungssysteme

Wir beschränken uns in unseren genaueren Betrachtungen überwiegend auf lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen mit eindeutiger Lösung. Am Ende der Abschnitte über die einzelnen Lösungsverfahren gehen wir aber auch detailliert auf weitere Fälle ein.

5.4.2 Beispiel. Wir betrachten das lineare Gleichungssystem bestehend aus den folgenden beiden Gleichungen:

Es ist wichtig, daran zu denken, dass wir bei einem Gleichungssystem wollen, dass alle angegebenen Gleichungen erfüllt sind. Dies kann man verdeutlichen, indem man wie oben ein “und” zwischen die beiden Gleichungen schreibt. Ihr könnt auch das mathematische Zeichen ∧ benutzen. Das ∧ wird in der Logik verwendet, um die “und”-Verknüpfung mathematischer Aussagen zu signalisieren. Eine weitere, gängige Schreibweise ist es, die Gleichungen des Systems einfach direkt untereinander zu schreiben. Dabei haben wir bewusst jeweils die x-Terme, die y-Terme und die konstanten Terme untereinander geschrieben. Dies führt zu einer besseren Übersicht und wird sich beim Lösen solcher Systeme noch als nützlich erweisen.

Um noch deutlicher zu zeigen, dass die Gleichungen zu einem System gehören, kann man auch Klammern um die Gleichungen des Systems setzen, wie etwa

5.4.3 Bemerkung. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass die Gleichungen in einem linearen Gleichungssystem nicht unbedingt direkt in der Form

gegeben sein müssen. So könnten wir etwa der Gleichung als Teil eines Gleichungssystems begegnen. Diese lässt sich allerdings in die Gleichung umformen. In der Tat lässt sich jede lineare Gleichung in zwei Variablen durch Äquivalenzumformungen in die Form ax+by = c bringen.

Wir wollen uns nun mit dem Lösen linearer Gleichungssysteme beschäftigen und betrachten dazu die folgenden Lösungsverfahren:

1.

Auflösen und Einsetzen

2.

Eliminationsverfahren

3.

grafisches Lösungsverfahren

Das (Gaußsche) Eliminationsverfahren wird auch kurz Gauß-Verfahren genannt. Zudem ist im schulischen Zusammenhang auch die Bezeichnung Additionsverfahren gebräuchlich.

Diese Lösungsverfahren werden nun jeweils zunächst anhand eines Beispiels erklärt. Danach geben wir Tipps, wie man seine Wahlmöglichkeiten innerhalb der einzelnen Verfahren geschickt nutzen kann.